纯粹从句法逻辑来看罗素悖论,似乎是一个悖论。因为连“我不相信”的感觉也被否了,这就自相矛盾。数学上不允许,否则导致“罗素悖论”。
不过,通常这句话很合逻辑,只是有所省略。说全了是罗素悖论:“有时我不相信自己的感觉”,这样说就没毛病。
日常话语罗素悖论,如果不涉及法律诉讼,人们总爱省略,因为有特定的语境。悖论,要么偷换概念,要么省略语境。
“白马非马”,说全了是:“白马非一般马”,没毛病罗素悖论。“他是一个蛇足”,说全了是:“他是一个画蛇添足的人”,没毛病。
库尔特。哥德尔于1931年发表了一篇重要的论文:《论数学原理和有关系统I的形式不可判定命题》。文章证明了一条后来以他的名字命名的不完全性定理(这里的完全性指的是完备性)。定理说:在任何含初等数论的相容(这里的相容通俗的讲就是不产生矛盾)的形式系统(形式系统可以简单的理解为由一些公理组成的)中罗素悖论,存在着不可判定命题(这句话可以简单的理解为,你即不能证明这个命题是正确的,也不能证明这个命题是错误的。),即命题本身和它的否定在该系统中都不可证。考虑到二值逻辑(所为二值逻辑指逻辑值要么为"真“要么为"伪"两种情况必取一)中,命题和它的否定必有一真,不可判定命题是真的,为此不完全性定理实际上断言了,上述系统中存在着“真"的不可证命题。这种表述通常称之为哥德尔第一定理。
该定理还有一个推论:一个包含初等数论的形式糸统的相容性,在该系统内是不可证明的。这个表述通常称为哥德尔第二定理。哥德尔的定理用通俗的话说:就是在现有的公理和定理的条件下,存在着一些命题。它们即不能证明是正确的,也不能证明它是错误的。那么在数学中有这样的命题吗?。在数学中还真有这样的命题,那就是"连续通假设"。其实,现在人们把它当成一个公理。连续通假设通俗的讲就是,直线上的点与实数的个数一样多即点数与个数相等。
哥德尔定理是现代逻辑发展史上的一座丰碑,一个转折点,它开创了现代逻辑发展的新时期。哥德尔的不完全性定理和塔斯基的形式语言的真理论及图灵机和判定问题的理论,已被国际逻辑界赞誉为现代逻辑的三大成果。亚里士多德是古希腊最伟大的思想家。他创建了古典的形式逻辑,被西方人称之为"逻辑之父"。有人为认,现代能与亚里土多德相比的逻辑学家,只有哥德尔。他的不完全性定理。是二十世纪数学,逻辑学领域中最卓越的成果。
本题是说:既然逻辑可以推翻漏洞命题,那么逻辑能否“自证其漏”?我认为,逻辑学创生2000多年,嫣然系统严密,无可挑剔,就是绝对真理,不存在“自打自耳光”的瑕疵。以下就三个方面,说明我的理由。
一,逻辑学的几个要点。
(一)逻辑学研究正确的思维规则,包括形式逻辑与辩证逻辑(对称逻辑)。
(二)形式逻辑,强调四大思维法则:①同一律,反制偷换概念、一语双关。②排中律,反制模棱两可、模糊歧义。③不矛盾律,反制前后矛盾、出尔反尔。④充足理由律,反制主观臆断、循环论证。
(三)对称逻辑,强调对称规律、和谐统一、反制悖论,诸如:天与人、思维与存在、内容与形式、主体与客体、结构与功能、现象与本质、外延与内涵、系统与环境、原因与结果、定性与定量、无形与有形、无机与有机、载体与能量、自然与人造、真实与模拟。
二,逻辑学如何反制悖论。
悖论(paradox/antinomy)是偷换概念的、模棱两可的、自相矛盾的、似是而非(佯真)的、似非而是(佯谬)的命题。
(一)偷换概念的悖论。典型的有:①公孙龙的“白马非马”论,此处的“马”,偷换了“抽象马/普通马”。②“究竟鸡生蛋还是蛋生鸡”,第一个“生”偷换了“孵化成” ,第二个“生”偷换了“长大成”。
(二)模棱两可的悖论。典型的有:①瞎子算命的“父在母先亡”,句逗歧义:父在,母先亡;父在母先,亡。②“讲真,我们村都说谎”,语境歧义:若强调村里人都说谎,“讲真”不可信。若就这句话而言,“村里人都说谎”可信。③“我请你喝杯酒”,重读歧义:分别加重6个字,则有6个不同的意思。
(三)自相矛盾的悖论。典型的有:①“你不可能站在同一条河流中”。混淆对称逻辑:较短时间与较长时间。在较短时间,命题不成立;在较长时间,命题可成立。②罗素悖论:设集合S是由一切非自我的集合:S={x|x∉S}。混淆对称逻辑:左边的S是集体,右边的S是个体。
(四)似是而非的悖论。典型的有:①“有用就是真理”。逻辑上不当延伸,以偏概全。②“存在即合理”(误译了黑格尔原话),不能放大到意识形态。
(五)似非而是的悖论。源于某些科学原理与常识不符。典型的有:①“我们此时看到的不是此时的太阳”。由于太阳发出的光8分钟以后到达地球,地球与太阳不在同一时空。②“海森堡测不准原理”。由于仪器干扰光子,所以无法测定光子相位。
三,关于哥德尔不完善定理。
简述:在数论或者实分析中,不可能找出完整的公理集。当给出一个命题,却无法顺利判定是否是系统的公理。当给出一个证明,却无法顺利检查是否正确。真与可证是两个概念。可证的一定是真的,真的不一定可证。
我认为,公理集的不完善性,涉及认知不足与技术困难,不影响逻辑思维的法则与效率。
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